La geometria Taxicab. Un món on els cercles són quadrats.
Autor: Aniol Cortada Garcia
Centre: INST.CENDRASSOS
Document:
tdr_neumann.pdf
(8.32 MB)
La nostra intuïció ens té acostumats a mesurar segons la geometria euclidiana clàssica on la distància més curta entre dos punts és la línia recta. No obstant això, hi ha ocasions en què la línia recta no és una trajectòria possible, com per exemple quan considerem el trajecte d'un taxi pels carrers d’una ciutat.
L'objectiu que ens plantegem amb aquest treball és estudiar la geometria que es deriva d'aquesta nova manera de mesurar, l'anomenada geometria Taxicab. Es durà a terme tant des del punt de vista teòric, com mitjançant el programa GeoGebra i s'aplicarà a algunes situacions pràctiques.
Després de donar una perspectiva històrica de l'evolució de la geometria i d'estudiar diverses mètriques, s'aborda l'estudi de diferents elements geomètrics amb la mètrica de Manhattan. S'obtenen resultats sorprenents: les circumferències són quadrats, les el•lipses poden ser octògons, els triangles equilàters poden no ser semblants i el valor de π és 4.
Tots aquests elements s’il•lustren fent ús del programa GeoGebra, amb el qual es dissenyen aplicacions interactives que permeten investigar les diferents casuístiques. Es fa també una comparativa axiomàtica de les geometries euclidiana i Taxicab on s'observa que, a aquest nivell, no hi ha moltes diferències entre ambdues geometries.
Com a aplicació pràctica s'estudien dos problemes de geometria urbana que donen resposta a on situar equipaments urbans d'una manera més eficient. Finalment, es proposen generalitzacions de la mètrica de Manhattan que obren tot un món de possibilitats.
Com a conclusió global es pot afirmar que, en determinats contextos, l'ús de la geometria Taxicab pot ser més eficient i lògic que el de la geometria clàssica.
L'objectiu que ens plantegem amb aquest treball és estudiar la geometria que es deriva d'aquesta nova manera de mesurar, l'anomenada geometria Taxicab. Es durà a terme tant des del punt de vista teòric, com mitjançant el programa GeoGebra i s'aplicarà a algunes situacions pràctiques.
Després de donar una perspectiva històrica de l'evolució de la geometria i d'estudiar diverses mètriques, s'aborda l'estudi de diferents elements geomètrics amb la mètrica de Manhattan. S'obtenen resultats sorprenents: les circumferències són quadrats, les el•lipses poden ser octògons, els triangles equilàters poden no ser semblants i el valor de π és 4.
Tots aquests elements s’il•lustren fent ús del programa GeoGebra, amb el qual es dissenyen aplicacions interactives que permeten investigar les diferents casuístiques. Es fa també una comparativa axiomàtica de les geometries euclidiana i Taxicab on s'observa que, a aquest nivell, no hi ha moltes diferències entre ambdues geometries.
Com a aplicació pràctica s'estudien dos problemes de geometria urbana que donen resposta a on situar equipaments urbans d'una manera més eficient. Finalment, es proposen generalitzacions de la mètrica de Manhattan que obren tot un món de possibilitats.
Com a conclusió global es pot afirmar que, en determinats contextos, l'ús de la geometria Taxicab pot ser més eficient i lògic que el de la geometria clàssica.