Construint polígons amb paper
Autor: Núria Casasayas Barris
Centre: INST.PIUS FONT I QUER
Document:
Tothom coneix l’art de la Papiroflèxia com aquell que es centra en la construcció de figures de paper, però en realitat és molt més que això. En aquest treball “Construint Polígons amb Paper”, el nostre objectiu era analitzar la part de la Papiroflèxia menys comuna, aquella que es fonamenta en les matemàtiques. El treball es va dividir en dos blocs: el dels nusos i el dels polígons regulars òptims inscrits en un quadrat.
En el primer bloc ens vam posar l’objectiu d’analitzar els nusos construïbles amb una tira de paper. Vàrem veure que un mateix nus podia ser construït de diverses maneres i, per tal de saber quines eren possibles i quines no, vam haver de treballar aspectes matemàtics com ara l’aritmètica modular, que també consta al treball. Ens centràrem en els nusos pentagonal, hexagonal, heptagonal i octogonal. Vam analitzar-los i en vam justificar la seva regularitat, vam desenvolupar-ne el contingut matemàtic i finalment vam fer unes conclusions mitjançant el teorema i la funció d’Euler amb la qual sabríem quins serien construïbles i quins no. Els resultats obtinguts en l’anàlisi d’aquests nusos va ser que el pentàgon, l´ heptàgon i l´octògon són construïbles, i l’hexàgon, no. Utilitzant la conclusió mitjançant el teorema i la funció d’Euler vam obtenir que, en general, els nusos possibles serien aquells en els quals existís un nombre que multiplicat pel nombre del costat cap on dirigim la tira, si suposem que entra pel costat zero, fos congruent amb 1, sent el mòdul el nombre de costats que té el nus.
En el segon bloc ens vam posar l’objectiu d’analitzar alguns dels polígons òptims (o d’àrea màxima) inscrits en un quadrat i calcular-ne l’àrea (comparant-la amb unes taules de resultats). Inicialment vam analitzar els sis axiomes que regeixen la papiroflèxia juntament amb els seus continguts matemàtics. Ens vam adonar que l’últim dels axiomes, el sisè, el qual és el més significatiu, era el mateix procediment que dur a terme la trisecció d’un angle, fet que és totalment impossible amb només regle i compàs, però que en canvi utilitzant la Papiroflèxia és molt senzill (la trisecció d’un angle és l’aplicació bàsica de la Papiroflèxia). Un cop analitzats aquests aspectes ja podíem passar a la construcció d’alguns dels polígons òptims amb els quals relacionaríem els estudiats axiomes . Vàrem construir el triangle, el pentàgon, i l’hexàgon òptims utilitzant mètodes citats al treball. Per tal de dur aquestes construccions vam tenir en compte que els polígons òptims sempre serien simètrics respecte una de les diagonals del quadrat del qual partíem i que almenys un dels vèrtex del polígon tocaria a un dels costats del quadrat.
Conclusivament d’aquests anàlisis vàrem obtenir els resultats esmentats, d´acord amb els objectius que ens havíem plantejat. En aquest sentit, la valoració que fem és favorable. Així doncs, vam poder conèixer una altra cara de la Papiroflèxia fins aleshores desconeguda.
En el primer bloc ens vam posar l’objectiu d’analitzar els nusos construïbles amb una tira de paper. Vàrem veure que un mateix nus podia ser construït de diverses maneres i, per tal de saber quines eren possibles i quines no, vam haver de treballar aspectes matemàtics com ara l’aritmètica modular, que també consta al treball. Ens centràrem en els nusos pentagonal, hexagonal, heptagonal i octogonal. Vam analitzar-los i en vam justificar la seva regularitat, vam desenvolupar-ne el contingut matemàtic i finalment vam fer unes conclusions mitjançant el teorema i la funció d’Euler amb la qual sabríem quins serien construïbles i quins no. Els resultats obtinguts en l’anàlisi d’aquests nusos va ser que el pentàgon, l´ heptàgon i l´octògon són construïbles, i l’hexàgon, no. Utilitzant la conclusió mitjançant el teorema i la funció d’Euler vam obtenir que, en general, els nusos possibles serien aquells en els quals existís un nombre que multiplicat pel nombre del costat cap on dirigim la tira, si suposem que entra pel costat zero, fos congruent amb 1, sent el mòdul el nombre de costats que té el nus.
En el segon bloc ens vam posar l’objectiu d’analitzar alguns dels polígons òptims (o d’àrea màxima) inscrits en un quadrat i calcular-ne l’àrea (comparant-la amb unes taules de resultats). Inicialment vam analitzar els sis axiomes que regeixen la papiroflèxia juntament amb els seus continguts matemàtics. Ens vam adonar que l’últim dels axiomes, el sisè, el qual és el més significatiu, era el mateix procediment que dur a terme la trisecció d’un angle, fet que és totalment impossible amb només regle i compàs, però que en canvi utilitzant la Papiroflèxia és molt senzill (la trisecció d’un angle és l’aplicació bàsica de la Papiroflèxia). Un cop analitzats aquests aspectes ja podíem passar a la construcció d’alguns dels polígons òptims amb els quals relacionaríem els estudiats axiomes . Vàrem construir el triangle, el pentàgon, i l’hexàgon òptims utilitzant mètodes citats al treball. Per tal de dur aquestes construccions vam tenir en compte que els polígons òptims sempre serien simètrics respecte una de les diagonals del quadrat del qual partíem i que almenys un dels vèrtex del polígon tocaria a un dels costats del quadrat.
Conclusivament d’aquests anàlisis vàrem obtenir els resultats esmentats, d´acord amb els objectius que ens havíem plantejat. En aquest sentit, la valoració que fem és favorable. Així doncs, vam poder conèixer una altra cara de la Papiroflèxia fins aleshores desconeguda.