Newton en colors: representació de fractals
Autor: Alex Molina Perelló
Centre: NTRA. SRA. DEL CARME-BALAGUER
Document:
L’elecció del tema del treball no va ser una tasca fàcil. Van aparèixer diverses opcions, però la que més em va sorprendre i agradar va ser la del món dels fractals. Jo no havia sentit mai aquest terme, ni el que significa, encara que segurament ja n'havia vist algun anteriorment, tot i que no me n'adonés. Va ser llavors quan vaig veure la imatge d’un fractal, i em va sorprendre per la seva bellesa. Aquest va ser el punt d’inici de la meva elecció.
La motivació inicial ràpidament va anar acompanyada d’un repte , esbrinar les fons matemàtiques que tenen aquestes figures. Així doncs, el tema i l’objectiu estava decidit.
Al començament de la meva recerca em vaig adonar que els fractals han sigut un tema bastant explotat en treballs de recerca, i això va fer necessari donar un nou enfocament al treball.
Estava clar que havia de familiaritzar-me amb tos els conceptes relacionats amb la teoria fractal, però vaig decidir donar-li una vessant diferent, focalitzant els meus esforços en la interpretació del mètode de Newton per a trobar arrels complexes d’una equació i com aquest procés genera un tipus de fractals anomenats fractals de tipus Newton. Per tant tot i que el primer objectiu no havia quedat modificat si que n’havia aparegut un de nou, estudiar el mètode de Newton en el pla complex i les seves aplicacions en la construcció i representació de fractals mitjançant algoritmes de color.
En el procés de recerca em vaig adonar, que només amb una mica més d’esforç podia estudiar altres fractals , molt coneguts al pla complex, així com la seva representació com imatges fractals.
Al acabar aquest treball de recerca, he après que les matemàtiques estan presents en gairebé tots els aspectes de la vida quotidiana, en especial els fractals, que encara que no ho sapiguem, són presents en molts llocs. Núvols, arbres, el nostre propi sistema circulatori són exemples de fractals. També he après que la geometria tradicional no és adequada a exemples a la vida real, ja que els avets no son cons perfectes i les esferes perfectes no existeixen.
A part d'aquests fractals reals, també hi ha els que estan al pla complex. Jo només he estudiat dos conjunts, el de Julia i Mandelbrot. Gràcies a aquest treball he sabut què eren, com es representen i la relació que tenen entre ells. En aquests fractals s'utilitzen nombres complexos, un conjunt numèric que jo desconeixia i que després d'acabar aquest treball he sabut què són, les formes que tenen...
L'altre gran apartat del qual jo no sabia que existia és el mètode de Newton. Jo sé que hi ha fórmules establertes per trobar les solucions d'equacions de grau 1 i 2, i que per grau 3 o més hi ha el mètode de Ruffini. Però aquest últim mètode només troba solucions enteres. És per això que trobo molt interessant aquest mètode, ja que troba arrels decimals d'equacions de qualsevol grau. Quan ja sabia com funcionava el mètode em va sorprendre molt que en aquesta cerca de solucions es forma un fractal, que en el treball he estudiat, mirant perquè es formen i quina forma tenen.
La motivació inicial ràpidament va anar acompanyada d’un repte , esbrinar les fons matemàtiques que tenen aquestes figures. Així doncs, el tema i l’objectiu estava decidit.
Al començament de la meva recerca em vaig adonar que els fractals han sigut un tema bastant explotat en treballs de recerca, i això va fer necessari donar un nou enfocament al treball.
Estava clar que havia de familiaritzar-me amb tos els conceptes relacionats amb la teoria fractal, però vaig decidir donar-li una vessant diferent, focalitzant els meus esforços en la interpretació del mètode de Newton per a trobar arrels complexes d’una equació i com aquest procés genera un tipus de fractals anomenats fractals de tipus Newton. Per tant tot i que el primer objectiu no havia quedat modificat si que n’havia aparegut un de nou, estudiar el mètode de Newton en el pla complex i les seves aplicacions en la construcció i representació de fractals mitjançant algoritmes de color.
En el procés de recerca em vaig adonar, que només amb una mica més d’esforç podia estudiar altres fractals , molt coneguts al pla complex, així com la seva representació com imatges fractals.
Al acabar aquest treball de recerca, he après que les matemàtiques estan presents en gairebé tots els aspectes de la vida quotidiana, en especial els fractals, que encara que no ho sapiguem, són presents en molts llocs. Núvols, arbres, el nostre propi sistema circulatori són exemples de fractals. També he après que la geometria tradicional no és adequada a exemples a la vida real, ja que els avets no son cons perfectes i les esferes perfectes no existeixen.
A part d'aquests fractals reals, també hi ha els que estan al pla complex. Jo només he estudiat dos conjunts, el de Julia i Mandelbrot. Gràcies a aquest treball he sabut què eren, com es representen i la relació que tenen entre ells. En aquests fractals s'utilitzen nombres complexos, un conjunt numèric que jo desconeixia i que després d'acabar aquest treball he sabut què són, les formes que tenen...
L'altre gran apartat del qual jo no sabia que existia és el mètode de Newton. Jo sé que hi ha fórmules establertes per trobar les solucions d'equacions de grau 1 i 2, i que per grau 3 o més hi ha el mètode de Ruffini. Però aquest últim mètode només troba solucions enteres. És per això que trobo molt interessant aquest mètode, ja que troba arrels decimals d'equacions de qualsevol grau. Quan ja sabia com funcionava el mètode em va sorprendre molt que en aquesta cerca de solucions es forma un fractal, que en el treball he estudiat, mirant perquè es formen i quina forma tenen.